أنواع الأحداثيات - Coordinate System

بسم الله الرحمن الرحيم
أنواع الأحداثيات - Coordinate System

1] الأحدثيات الكارتزية Cartesian Coordinates

أبرز نوع أحداثيات يتم اللجوء إليه دوماً، فهو الأشهر والأبرز فى تمثيل أى دالة رياضية خاصة بمتغير واحد. ولا يقتصر أستخدامه فى المجالات الهندسية فحسب، بل يمتد ليشمل المجالات الأقتصادية، الأحصاء، الطب والعديد .. هنالك أحداثيات خاصة بالـ 2D تتكون من محور أفقى x ومحور رأسى y ، حيث يتم تمثيل النقطة من خلال طولها وعرضها. فمثلاً النقطة (1,2) تمثل عرضاً خاص على محور الـ x هو 1 وحدة من نقطة الأصل (0,0) طبقاً لمقياس الرسم، وطول على محور الـ  y بـ 2 وحدة. أما بالنسبة للـ 3D فنضع محور جديد يمثل الأرتفاع هو الـ  z حيث يتم التمثيل كما فعلنا بالنسبة للطول والعرض، ونمثل الأرتفاع بنفس الطريقة.

تطبيقات الأحداثيات الكارتزية: لا حصر لها، فهى تعتبر الأشهر والأكثر شيوعاً لتمثيل أى علاقة هندسية نظراً لسهولة أستخدامها. وكما ذكرنا لا يقتصر هذا الأستخدام فى مجالات الهندسة فحسب كما يحدث مع النظم الأخرى، بل يمتد ليشمل أغلب التطبيقات العلمية.

 

- الأحداثيات الكارتزية فى بعدين يمين ،، الأحداثيات الكارتزية فى 3 أبعاد -

---

2] الأحداثيات القطبية Polar Coordinates

هى نوع من الأحداثيات يخص الـ 2D يتم اللجوء إليه حينما تكون هنالك حاجة لتمثيل أشكال دائرية، حيث أبسط مثال على ذلك الدائرة. فالدائرة يمكن تمثيلها على الأحداثيات الكارتزية ولكن بمعادلة يصعب التعامل معها رياضياً، فى حين توفر لنا الأحداثيات القطبية معادلة بسيطة جداً تسهل التعامل معها فى التطبيقات. الأحداثيات القطبية مقسمة إلى أربعة خانات، كل خانة تمثل دوران نقطة بزواية 90 درجة أو بالـ Radian بنسبة فالدورة الكاملة هى 2π . ويتم تمثيل النقطة بدلالة طول r وزواية θ التى تمثل الميل على المحور الأفقى ..

فمثلاً النقطة ( 1,π/4 ) تمثل متجهاً طوله 1 وحدة طبقاً لمقياس الرسم، ويميل هذا المتجه بزواية 45 درجة على المحور الأفقى. أما النقطة (1,3π/2) فتمثل نفس المتجه لكنه يميل بزاوية 270 درجة.

- نموذج لشكل الأحداثيات حيث تمُثل الزوايا بالدرجات أو الـ Rad -

تطبيقات: يتم أستخدامها لتمثيل أى شكل دائرى كالدائرة، القطع الناقص، القطع المكافىء إلخ، فمع تمثيلها بهذا الشكل تسهل كمثال بسيط عمليات التكامل ومعرفة مساحتها، فمساحة الدائرة تم حسابها عن طريق تمثيلها فى الأحداثيات القطبية وليس الكارتزية. المعادلة فى x,y هى x^2+y^2=r^2 حيث r  هو نصف القطر. أما فى r,θ فهى r(θ)=a حيث a هو نصف القطر والفرق واضح جداً أن المعادلة الأخيرة بسيطة جداً ..
أيضاً هنالك أستخدام رياضى هام جداً ويخص علاقة Euler حيث يمكن التعبير عن أى دالة أسية e بدلالة الـ cos,sin حيث يمثل أحدهما الحد الحقيقى والآخر الحد التخيلى ((تكنيك أساسى فى حل المعادلات التفاضلية)).

 

- الرسمة اليمنى تمثل دائرة ممثلة على الأحداثيات القطبية ،، فى حين تمثل الرسمة اليسرى علاقة Euler بأستخدام الأحداثيات القطبية -

التحويل إلى النظام الكارتزيى Conversion: لو أردنا أن نقوم بتمثيل النقاط من القطبى إلى الكارتيزيى نستخدم العلاقات التى تبرز من هندسة الشكل عند تمثيل النقطة  x=rcosθ , y=rsinθ ..

---

3] الأحداثيات الأسطوانية Cylindrical Coordinates

تمثل الأحداثيات القطبية ولكن للـ 3D أى أنها خاصة بتمثيل الأشكال الدائرة فى الثلاث أبعاد (( ما عدا الكرة فلها نظام مستقل )). فكما فعلنا مع الأحداثيات الكارتزية وأضفنا متغير جديد هو الـ z يمثل الأرتفاع، نضع هنا متغير جديد هو الـ P يمثل أرتفاع النقطة عن المستوى الأرضى أو المستوى القطبى ،، تمثيل النقطة الآن فى الفراغ سيكون من خلال (r,θ,p) حيث r هو طول المتجه فى المستوى الأرضى، الزواية θ هى الزواية التى يصنعها مع دورانه على المحور الأفقى للمستوى الأرضى، فى حين تمثل الـ P أرتفاعه عن المستوى الأرضى.

تطبيقات: تقريباً هى نفسها الخاصة بالأحداثيات القطبية ولكن بالنسبة للأشكال الدائرية الخاصة بالفراغ كالأسطوانة، القطع الزائدى المكافىء .

- التمثيل على الرسم عن طريق الرموز (ρ,φ,z) والتى تكافى بنفس الترتيب (r,θ,p)

Conversion: x=rcosθ , y=rsinθ , z=p

---

4] الأحداثيات الكرية أو الكروية Spherical Coordinates

نظام مخصص بالكامل وتم تنفيذه لتمثيل الكرة فى الفراغ، فالنقطة يتم تمثيلها من خلال 3 متغيرات يمثلون طول متجه وزوايتان مختلفتان. الزواية الأولى هى φ تمثل الزواية التى يصنعها المتجه مع محور الأرتفاع ولا تتجاوز هذه الزاوية نطاق الـ 180 درجة. فى حين تمثل الزواية الأخرى θ الزواية التى يصنعها مسقط المتجه مع المحور الأفقى للمستوى الأرضى و تمثل دورة كاملة 2π أو 360 درجة. النقطة تكون على الشكل ( r,φ,θ ) وتعريفتها كما ذكرنا من لحظات ..

- عملية التمثيل على الورق لنقطة بياناتها r,φ,θ -

التطبيقات: تمثيل الكرة فى الفراغ بطريقة سهلة وبسيطة لأستخدامها فى التطبيقات الهندسة، وأيضاً لم يكن من الممكن حساب مساحة الكرة عن طريق التكامل إلا مع أستخدام الأحداثيات الكرية. فمعادلة الكرة فى الأحداثيات الكرتزية تأخذ الشكل x^2+y^2+z^2=r^2 حيث r هى نصف القطر وطبعاً يبدو واضحاً مدى صعوبة الشكل الذى سيتم التعامل معه أثناء التكامل لإيجاد المساحة ..

أيضاً يتم أستخدام الأحداثيات الكرية أستخدام رأسى رآه الجميع ولكن لك يعرف ماهيته أو من أين أتى، وهو أحدثيات الطول والعرض والتى تمثل من خلال النظام الكروى كما سيوضح فى الشكل التالى ..

 

- تمثل الدائرة الكرة الأرضية، والزواية θ خط العرض ويرمز له بـ φ لمهندسى المساحة، أما الزواية φ فتمثل خطوط الطول ويرمز لها عالمياً بـ λ -

Conversion:x=rsinφcosθ , y=rsinφsinθ , z=rcosφ ..

---

ملحق الموضوع: كيفية التحويل من نظام إلى آخر بالمحددات أو المصفوفات .. 

أثناء التعامل مع التطبيقات الهندسة، نجد أنفسنا مضطرين للتحويل من نظام إلى آخر نظراً لسهولة أحدهم وصعوبة الآخر. لذا يتم اللجوء إلى وسيلة رياضية فعالة تدعى الجاكوبين Jacobian .. هى عبارة عن محدد لأستبدال المتغيرات والتحول من نظام إلى آخر يقوم بحل المشكلات التى قد يتسبب فيها نظام ما ..

المحدد يأخذ شكل العلاقة :

 

ويمكن أعتبارها بمثابة مصفوفة للعمليات الخطية، أو بمثابة محدد يمثل فكه أستبدال المتغيرات التى لا نريدها إلى التى نود التعامل معها